2 , x + 2 2. 2 x + x ) ) , x c Halle las curvas de nivel para T=40C yT=100C,T=40C yT=100C, y describa lo que representan las curvas de nivel. ((DQ@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@]\Gim,HB d~f'Sj.~# S5 iAg?s.?NSQ^EPEP;'5KI(TE x x 2 = , 0 4 ) ( 2 Las ideas principales de hallar puntos crticos y utilizar pruebas derivadas siguen siendo vlidas, pero aparecen giros inesperados al evaluar los resultados. , 3 Por tanto, por la teora de mximos relativos para funciones de una variable, se tiene que f (x ,y ) 0 y f (x ,y ) 0. x 00 y 00 ==. 2 ( x y TEOREM 101 Propiedades Lmite Bsico de Funciones de Dos Variables Dejar b, x0, y0, L y K ser nmeros reales, dejar n ser un entero positivo, y let f y g ser funciones con los siguientes lmites: Se mantienen lim ( x, y) ( x0, y0) f(x, y) = L \ and\ lim ( x, y) ( x0, y0) g(x, y) = K. los siguientes lmites. 2 Ahora estudiamos el signo de la funcin en las distintas regiones: Tenemos signos positivos y negativos en cualquier entorno del origen, se trata, pues de un punto de silla. 4 , 4 , = En la segunda funcin, (x,y)(x,y) puede representar un punto en el plano, y tt puede representar el tiempo. ( f 2 ( ) , ( En los siguientes ejercicios utilice la Prueba de la segunda derivada para clasificar cualquier punto crtico y determine si cada punto crtico es un mximo, un mnimo, un punto de silla o ninguno de ellos. Este libro utiliza la ; + 1.Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones: Usaremos la notacin f0 16 x = ( , Recomendamos utilizar una x 2 , 4, w f 3 Dada una funcin f(x,y,z)f(x,y,z) y un nmero cc en el rango de f,f, una superficie de nivel de una funcin de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y,z)=c.f(x,y,z)=c. 6, f 5 , g ) y = En los siguientes ejercicios, halle los puntos crticos de la funcin utilizando tcnicas algebraicas (completando el cuadrado) o examinando la forma de la ecuacin. = y + y 1999-2023, Rice University. x , y Halle tres nmeros positivos cuya suma es 27,27, de manera que la suma de sus cuadrados sea lo ms pequea posible. 2 x = ; Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y. Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descrbala. Las lneas que estn muy juntas indican un terreno muy escarpado. x 2 = 4 0 obj << z x 2, z=f(x,y)=x2 +y2 ,z=f(x,y)=x2 +y2 , c=3c=3, f(x,y)=y+2 x2 ,f(x,y)=y+2 x2 , c=c= cualquier constante. z y cos If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. f : +_3$_ty75SjM~{#sO ($`( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7. y Salvo que se indique lo contrario, los libros de texto de este sitio x Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la funcin es nulo. = ) z z 2 62 x + Creative y ( + + x 5 x 2 IMPORTANTE Aqu resolver muy diversos ejercicios de mximos y mnimos (optimizacin) de funciones de varias variables (mximo y mnimo de superficies). ; = + = 9, f y 1 ) ) y ) x ; = 2 donde zz se mide en miles de dlares. , 2 + ) , 8 2 + Limites en varias variables. Ejercicios resueltos Parte 1 y Esta aplicacin tambin es importante para las funciones de dos o ms variables, pero como hemos visto en secciones anteriores de este captulo, la introduccin de ms variables independientes conduce a ms resultados posibles para los clculos. , 2, f x = 3 x , = Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a graficarlas. extremo con respecto a los puntos cercanos. 2 y 2 ; x h y y x y 2 x 2 Para entender mejor el concepto de trazar un conjunto de triples ordenadas para obtener una superficie en el espacio tridimensional, imagine el sistema de coordenadas (x,y)(x,y) en plano. + 1, f Un hiperboloide de una hoja con algunas de sus superficies de nivel. ) ( 4 ) c ) y kd7,qWc(1h,&x*LuYu.}mVN2FesI'uy9X_B((7 5Euo"=i '7lqQ^ y x x ) + = ) ) Consulte el problema anterior. y 2, g 120 ( El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mnimo local. Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. = OpenStax forma parte de Rice University, una organizacin sin fines de lucro 501 (c) (3). Este libro utiliza la x x 4 y El punto (x0,y0)(x0,y0) se llama punto crtico de una funcin de dos variables ff si se cumple una de las dos condiciones siguientes: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones: Halle el punto crtico de la funcin f(x,y)=x3+2 xy2 x4y.f(x,y)=x3+2 xy2 x4y. x ( + Consulte el problema anterior. x x Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Si la funcin \(f\) admite derivadas ) Tema: Funciones de varias variables Ejercicios resueltos Curvas de nivel 6.La siguiente tabla muestra el ndice de calor (en F) como una funci on de la temperatura y la humedad. x = 0. 3 y Determine la ecuacin de la traza vertical de la funcin g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1g(x,y)=x2 y2 +2 x+4y1 correspondiente a y=3,y=3, y describa su grfico. LhnJz>FX^i$$)^P`jt5R3Y5jan @Ty@oad68 G\(S"s>}tHjTQ@94U[NS(.4rA"^U`8YD}S*MNA2EaP'u+9}6k5! , 2 . stream 2 )EREEBD8e>58gw}w'-|GIz)\;{Sql2c1.Jz szH)&zG-yw'J2{ ^V{'@Mi`]Jl=bV , Dibujar el grfico de una funcin de dos variables. ) z = 6 y x = ) x PDF Extremos de funciones de varias variables - unex.es y x 2 , c Las derivadas parciales El gradiente y las derivadas direccionales La derivada parcial y el gradiente (artculos) Derivar curvas paramtricas La regla de la cadena multivariable La curvatura. , ) ( , 2, f , un entorno, por ejemplo, sobre los ejes: Estudiamos la monotona de la funcin f(x,0), Sabemos que la derivada se anula en x = -1 , 0 , 1, Y tenemos que es decreciente, creciente, decreciente y creciente, respectivamente, = x Observe que es posible que alguno de los dos valores no sea un nmero entero; por ejemplo, es posible vender 2,52,5 mil tuercas en un mes. 2 , 2 16 Por definicin ,/ 22 Cxy xy. 2 ( y ( Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. 2 x = ) y 15 , Halle el volumen mximo de una lata de refresco cilndrica tal que la suma de su altura y su circunferencia sea 120120 cm. x x = x = x tienen extremos relativos y absolutos. x y x >> endobj cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z 9 y y Utilizando la funcin de temperatura encontrada, determine la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto P(1,2 )es50C.P(1,2 )es50C. y = , y Esta funcin tiene un punto crtico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. y 2, z El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . Podemos graficar cualquier par ordenado (x, y) en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado (x, y) asociado a l. ln + = ( f Halla el volumen mximo de una caja rectangular con tres caras en los planos de coordenadas y un vrtice en el primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1. = 5 f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1)f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1) grandes. ( x ( x ( 2 2 Supongamos ahora que f es una funcin de dos variables y g es . 25 y ) , + 3 x y 9, g ) Un tanque de oxgeno est construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. ; + Sin embargo, en primer lugar hay que asegurarse de que esos valores existen. y Ejercicios Resueltos de Extremos de Funciones en Varias Variables (1 y + , c ; Sin embargo, el que ff no tiene un valor extremo en x=0.x=0. 2 PDF Problemas resueltos de c alculo en varias variables reales c e y, f x = Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. = y + 3, f ( /ColorSpace /DeviceRGB ) ) [T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 )f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 ). f , y x ) ( y /MediaBox [0 0 595.276 841.89] El mtodo para hallar el dominio de una funcin de ms de dos variables es anlogo al mtodo para funciones de una o dos variables. Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy)(xyy) y una variable dependiente (z).(z). y 2 y y y 2 y S( ( ( ( o:o1iK1q7_kWOwOI>=nc^9]=kM S $ ?;/I5E}*~ 0j' `?2O*(] `?2O dXTQ$;#w d_{~ .u}NmGP{ZB"@ ?;+w'5 0OYIs^^`i3FA-[wQE|aEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEvs!6P2M ~m~_mGVlES* |5yW&" .O$$MVlRX :5(c4cJamF&" (MS'%*m'># /'>$0j'rdnuO5O 5Ok9W`d}YZPL,hFI2 |= ?[z|"\ds|LUI. EW9QE QE QE QE QE QE |qh6=2{5Y.#r5 q W2+>8f?s_O-O(7N2tN |>'K/&Kl|TqcW/t~-|NXR7|XG^CEWX,2~z )-}Q|D//=fWki-D&y{%>6? A1i%yY = y 2 2 x , + 2 1 El dominio, por tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. ) 2 ( x 1 ( ) Report DMCA Overview + w f Para simplificar, eleve al cuadrado ambos lados de esta ecuacin: Ahora, multiplique ambos lados de la ecuacin por 11 y aada 99 a cada lado: Esta ecuacin describe un crculo centrado en el origen con radio 5.5. 3 4 En Mximos y mnimos demostramos que los extremos de las funciones de una variable se dan en los puntos crticos. = Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). Creative Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de f.f. 16 Por lo tanto, el rango de f(x,y)f(x,y) es {z|z16}.{z|z16}. y, f y x = (50,2 9). + f 0 w 4 2 = , , /Type /XObject 2, f en el dominio definido por 0x2 0x2 y 1y3.1y3. x ; Entonces ff alcanzar el valor mximo absoluto y el valor mnimo absoluto, que son, respectivamente, los valores ms grandes y ms pequeos encontrados entre los siguientes: La demostracin de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. 1, g ( 2 correspondiente a c=2 ,c=2 , y describa la superficie, si es posible. + + ( x ( 4 4 2 ; x Incremento de una funcin - Teorema del valor medio - Funciones diferenciables 04-1. x Estrategia para la resolucin de problemas: Usar la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables, Hallar los valores extremos de una funcin de dos variables, Estrategia para la resolucin de problemas: Calcular valores mximos y mnimos absolutos. ( Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License y , , 2 2, g Aqu hay algunos ejemplos donde se presentan funciones de varias variables: Ejemplo 1: de la posicin a la temperatura. 2, f 2 x e 2. f Cuando se trabaja con una funcin de dos o ms variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto. ) ( Es decir el rea depende del valor del radio. y = 08. Ejercicios de Mximos y mnimos de funciones de varias variables 2 ) + 2 y 8, f Un mximo ( mnimo) La definicin de una funcin de dos variables es muy similar a la de una funcin de una variable. Recordemos que la regla de la cadena para la derivada de un compuesto de dos funciones puede escribirse de la forma. y = y x Teorema 1 | Demostracin 1 | Ejemplo 1 | Ejemplo 2 | Ejemplo 3 | Observaciones |. 4 0 obj El conjunto DD se llama el dominio de la funcin. x c = x Clculo de Extremos de Funciones de Varias Variables - MATESFACIL 2 x En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. 2 ( Plano tangente 04-3. x Por lo tanto, es tanto un mximo global para una traza como un mnimo global para otra. = x En los siguientes ejercicios, halle las curvas de nivel de cada funcin en el valor indicado de cc para visualizar la funcin dada. 2, f 2 y x y y = Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos crticos como los valores de la funcin cuando la derivada es igual a cero o no existe. + Salvo que se indique lo contrario, los libros de texto de este sitio Una empresa que fabrica dos tipos de calzado deportivo: las zapatillas de correr y las zapatillas de crossfit. 13, f y Supongamos que deseamos graficar la funcin z=(x,y).z=(x,y). + El dominio de ff se compone de pares de coordenadas (x,y)(x,y) que producen una ganancia no negativa: Se trata de un disco de radio 44 centrado en (3,2 ). Entonces, es necesario hallar el valor mximo y mnimo de la funcin en el borde del conjunto. c stream y ( 2 f Considere la funcin f(x)=x3.f(x)=x3. + Una fina placa de hierro se encuentra en el plano xy.xy. ) = + El mtodo de los multiplicadores de Lagrange se introduce en Multiplicadores de Lagrange. 20 0 obj + , Verifique sus resultados utilizando la prueba de las derivadas parciales. 2 + 2, f ) , Utilice la tecnologa para graficar z=x2 y.z=x2 y. Dibuje lo siguiente encontrando las curvas de nivel. + ) + 4 ) = Volviendo a la funcin g(x,y)=9x2 y2 ,g(x,y)=9x2 y2 , podemos determinar las curvas de nivel de esta funcin. 2 = w y y Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la funcin corresponde al mximo global y el menor valor de la funcin corresponde al mnimo absoluto. = donde xx es el nmero de tuercas vendidas al mes (medido en miles) y yy representa el nmero de tornillos vendidos por mes (medido en miles). y =)U!xQ,)+`5!n=-?% u/(e._jq0-H,,4QV7o>hO"Ov"Zs]J{ `DX}5 4hlnB4u&zVXyB{eK`:Nu#N-lV9[ Mb:lpYN_cTF~}?y9F?v0BWH x Notemos que la funcin nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crtico debe ser donde se anula la funcin y, por tanto, se trata de un mnimo absoluto. x /Parent 44 0 R , Grfico de la semiesfera representada por la funcin dada de dos variables. = Reconocer una funcin de tres o ms variables e identificar sus superficies de nivel. f , y , ) y f w 0 = x /BitsPerComponent 8 Definamos la cantidad. + 2, f 8 z c 100 As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases. ( y 1 y ) y x = 2 No hay valores ni combinaciones de, Esta funcin tambin contiene la expresin. 4 Desde el origen, la funcin crece sobre el eje OY y, sobre el eje OX, decrece hacia la derecha y crece hacia la izquierda. y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. 3. 2 El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es el grfico de la funcin f.f. c Las variables independientes x y y se consideran variables espaciales, y la variable t representa el tiempo. 3, f , 2 x , + 1 = y 2 y y 2 x c ( = 2 x y = PDF Tema 5 Optimizaci on de funciones - us ( 4 Ahora que sabemos que cualquier funcin continua ff definida en un conjunto cerrado y delimitado alcanza sus valores extremos, necesitamos saber cmo hallarlos. = /Resources 36 0 R 2 g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0)g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0) grandes. , y y , La solucin a este sistema es x=21x=21 y y=3.y=3. 2 y + x x x Halle los puntos de la superficie x2 yz=5x2 yz=5 que estn ms cerca del origen. 2 = x x + y El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. 4 $4%&'()*56789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz ? + y f (, )xy xy 2. x Si los valores de c=3,c=3, entonces el crculo tiene radio 0,0, por lo que consiste nicamente en el origen. 0 3, f + , ; y + x ) x Extremos relativos o locales. y ( ( Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License, https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion, https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/4-1-funciones-de-varias-variables, Creative Commons Attribution 4.0 International License, Este es un ejemplo de funcin lineal en dos variables. z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=1c=1, z(x,y)=y2 x2 ,z(x,y)=y2 x2 , c=4c=4, g = = ) ( Ejercicios Resueltos: clculo de extremos y de puntos de silla. y 2, z 2 Matesfacil.com Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). Los ingresos totales de xx unidades de zapatillas para correr y yy unidades de entrenadores cruzados viene dada por R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y,R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y, donde xx como yy estn en miles de unidades. y x Es un punto donde la ( 2022 OpenStax. x superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. + 4.12 Valores Extremos De Funciones De Varias Variables Uploaded by: JD Hernandez December 2019 PDF Bookmark This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. , = que anulan las derivadas parciales. ) /Subtype /Image 2 Dada una funcin f(x,y)f(x,y) y un nmero cc en el rango de f,af,a curva de nivel de una funcin de dos variables para el valor cc se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y)=c.f(x,y)=c. 4.5 La regla de la cadena - Clculo volumen 3 | OpenStax
